看了上次的scratch入門文章后，是不是感覺躍躍欲試了，上次我們體驗了scratch的畫筆功能，那我們今天就嘗試下用畫筆來畫幾何圖形吧。

上次用了畫筆工具后，編者興致盎然，一直想著用畫筆工具畫點什么？

本來想畫個三角形或正方形之類的，沒想到一發不可收拾，畫了很多很多正多邊形出來了，大家來欣賞下吧。

為了追求視覺上的統一，看起來沒那么雜亂，干脆在同一個圓內畫了這么多正多邊形。不過雖然看著很簡單，可是對小學生來說，實現起來可能還有點難度，因為這里面用到了若干三角函數的基礎知識。

我們先不管上面的視頻，我們先想想，如果要畫個正方形，我們要怎么做呢？

畫正方形

如果只畫個小正方形的話，可能很簡單。

畫之前特意問了我家的小朋友，小朋友只是說正方形方方正正的，四條邊一樣長。

方方正正是個什么意思呢？用稍微書面點的文字來描述，正方形主要有兩點性質：

• 正方形有四條等長的邊

• 正方形的每個角是直角

當我們用scratch畫正方形的時候，就會牽涉到下面兩個問題：

• 連續畫4條線段

• 連續的2條線段是互相垂直的（直角）

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“落筆”開始畫

回憶下上節課的內容，我們用畫筆工具畫線段的時候，是不是先要拿起畫筆往“舞臺區”上“落筆”呢？

如果我們不能確定“落筆”是什么意思，可以右擊“落筆”按鈕，然后再點擊旁邊所彈出的“幫助”按鈕，會看到“腳本區”上面會打開一個頁面，彈出如下提示和示例：

沒錯吧，“落筆”后再移動100步，小蟲子后面就會畫出一條線段。

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畫線段

依樣畫葫蘆，我們也這樣搞，看看能不能畫出一條線段呢？

看到沒有，當我們點擊“旗幟”運行的時候，左邊“舞臺區”就畫上了一條藍色的線段。畫完以后我們“抬筆”，畫筆抬起來了，表示畫完了。

最后的“移到x:0 y:0”表示畫筆放回中心點，方便下次用。當然，還可以防止畫筆跑出了“舞臺區”。

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畫直角

我們按照上面的方法，連續畫2條線段，2條線段之間形成一個夾角，怎么確保夾角是90度呢？

這里牽涉到角度的問題，小學低年級的小朋友可能還不知道轉一圈是360度，360度四等分成4個直角，每個直角就是90度。

我們知道了直角是90度后，用“運動模塊”里的右轉/左轉工具轉個90度再畫第2條線段，那這連續的2條線段形成的夾角就是直角。

我們調整下腳本。

哈哈，直角搞定了。

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重復右轉4次搞定正方形

那我們再繼續轉幾次正方形不就搞定了？

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利用循環控制來簡化腳本

這樣雖然搞定了，但腳本看起來有點重復，腳本里的移動100步都用了4次，還記得“控制”模塊里的“重復執行”功能嗎？我們用它來精簡下。

看起來是不是精簡些了呢？

畫個三角形？

正方形搞定了，我們嘗試來畫個正三角形吧？！

和前面的區別，主要就是轉向的角度不一樣了吧，正方形是轉90度，三角形應該轉多少度呢？

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三角形的性質

正三角形有哪些特性呢：

• 三條邊相等

• 三角形內角和是180度，正三角形每個角是60度

那我們連續畫線段的時候，是不是每次轉個60度，回到起點后，就把一個正三角形畫好了呢？

oh,my god!說好的三角形呢，怎么變成連續的幾條線段呢？不過線段看起來很有規律的，我們再多重復畫幾條試試吧。

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失敗的三角形=六邊形

明明我們想畫個正三角形，可是畫出來的偏偏是個正六邊形？

想想，哪里搞錯了呢？原來呀，是我們的角度轉得不對。

真是無心插柳柳成蔭啊，我們明明想畫個正三角形，因為方向轉錯了，竟然畫出個正六邊形出來了。

其實啊，如果左轉120度（和右轉60度等價），畫出來的就是正三角形了吧。

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正十二邊形

塞翁失馬，焉知禍福？我們本來想畫3條邊的正三角形，卻畫出了6條邊的正六邊形。如果我們把左轉的度數縮小一半到30度，把重復執行的次數增加一倍到12次，看看能畫出個什么來呢？

當然了，畫過一次后，我們發現舞臺區不大，得把移動的步伐縮小點，不然又畫出去了。

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正二十四邊形

哈哈，繼續，正二十四邊形都出來了，有沒有發現什么規律了嗎？

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圓

明明是想畫正48邊形的，為什么看起來這么像圓？其實小朋友不知道的是，我們古時候的祖沖之呀，計算圓周率的時候，就是用這樣的割圓術去逼近圓的。當正多邊形的邊數越來越大的時候，畫出來的圖形，越來越接近于圓。

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找規律

小朋友學數學，要善于找規律。

我們畫了正六邊形、正12邊形、正24邊形、正48邊形，結合每次轉的角度，有沒有發現什么規律呢？

細心的小朋友可能還真發現了？我們把角度乘以邊的個數，怎么乘積都是360度呢？

如果是正三角形，那3條邊，左轉的角度應該是360/3=120度吧。

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正三角形

還真是這樣，原來畫三角形的時候得左轉120度呢。

綜合上面所畫的正多邊形，其實我們發現了一個定理：

多邊形外角和等于360度

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正N邊形

依賴于這個性質，我們就可以根據上面的腳本畫出任意正多邊形，譬如畫個正n邊形，那我們只要左轉360/n度就可以。

當然了，要控制下步數，免得畫到“舞臺區”外面去了。

組合成動畫？

知道了制作各類多邊形后，那我怎么依次把這些正多邊形畫個遍呢？

當然了，從上節內容來看，多邊形邊數變大了，無非就是越來越像圓了，邊數大了后，憑我們的眼睛又看不出差別，所以啊，我們畫前面10多個正多邊形就好了。

那我們得想想，每次循環畫正多邊形的時候，多邊形的邊數是不是不斷變化的呢？這個要怎么實現？

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變量

循環的時候不斷變化的值，我們可以存在變量里。

譬如，我們定義一個變量num，專門來存放正多邊形的邊數。

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雙層循環控制

我們每次畫一個正多邊形num的時候，需要循環num次才能把該多邊形畫好，前面提到過，num變化的時候，我們也需要用一層循環來控制，那這樣就需要兩層循環來控制。

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完整腳本

全部腳本如下所示：

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動畫效果圖

為了看起來不至于太單調，每畫一邊的時候隨機設置了畫筆的顏色。

另外一種形式的動畫？

不知道大家有沒有發現，前面這個五彩繽紛的動畫，有一個一直不變的東西，那就是正多邊形的邊長，我們每次循環畫邊的時候，移動的步數都是30步吧。

那我們現在換一種方式，我們繪制所有的正多邊形，外接圓都重合的話要怎么畫呢？

什么叫外接圓重合呢，每個正多邊形的頂點共圓，我們要讓所有多邊形的頂點都在同一個外接圓上。

那這些正多邊形之間有哪些共同的特性呢？

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不變的常量——外接圓半徑

所有正多邊形中，從圓心到任意一個多邊形的端點，也就是圓的半徑，一直是不變的。

還記得前面做的那個動圖，不變的是什么嗎？不變的是邊長。

為了方便在腳本里編寫調試，我們將這個不變的半徑設置成一個常量R。當然，在scratch里其實都是變量。

我們將邊數也設置成一個變量Num。

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固定出發點，調整好繪制方向

為了方便繪制，我們計劃所有的正多邊形統一從坐標系中的某個點出發，譬如坐標系中的點E｛x=0,y=R｝。

在scratch中，我們每次繪制一個正多邊形的時候，都要將位置移動到{0,R}這個點，然后面朝某個方向開始繪制。

而對于正Num邊形來說，這里我們取Num=6，也就是我們以正六邊形為例。當我們把位置移動到{0,R}的時候，第一條線繪制的方向是不是線段DE的方向呢？

最初我們從圓心O{0,0}往上移動到E{0,R}的時候，是朝正北的，到了E點后，要轉向到ED的方向，如下圖所示：

通過上個動畫的制作，我們知道所有正多邊形的外角和是360度，所以每個正多邊形的內角是180-360/Num，所以從OE轉向DE，線段要面向的方向是180-（180-360/Num）/2=90+180/Num。對于正六邊形來說，就是要面向120度的方向。

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邊長

在六邊形中，我們確定好起點E和方向后，我們還有確定好線段ED的長度。

其實，我們很容易知道角HOE為360/Num/2=180/Num。

根據正弦定理，易知線段EH=R*sin(180/Num)，所以線段DE的長度就是線段EH的兩倍，也就是2R*sin(180/Num)。

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右轉方向

線段ED繪制好了以后，我們從線段ED轉向線段DC，右轉的度數是不是一個外角那么大呢？外角和是360度，那這個外角就是360/Num。

那這樣循環Num次，正Num邊形是不是畫好了呢？

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完整腳本

完整腳本如下所示：

完整效果圖如下，和前面的視頻相比，只是增加了隨機色而已。

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